La distribution de Poisson bivarié est l’extension bidimensionnelle de la loi de Poisson, utilisée pour modéliser simultanément les buts de l’équipe à domicile et de l’équipe à l’extérieur lors d’un match de football. Elle permet de calculer la probabilité de n’importe quel score exact (0-0, 1-1, 2-1…) et par agrégation, les probabilités de marchés comme Over/Under, BTTS, ou résultat mi-temps.
Rappel : la loi de Poisson univariée
Pour un match où l’équipe A est attendue marquer λ_A buts en moyenne :
P(A marque k buts) = e^(−λ_A) × λ_A^k / k!
Si λ_A = 1.6 :
| Buts | Probabilité |
|---|---|
| 0 | 20.2% |
| 1 | 32.3% |
| 2 | 25.8% |
| 3 | 13.8% |
| 4 | 5.5% |
| 5+ | 2.4% |
Poisson bivarié : probabilité de chaque score exact
En supposant l’indépendance entre les buts des deux équipes (hypothèse simplificatrice corrigée par ρ dans Dixon-Coles) :
P(score i-j) = P(A marque i) × P(B marque j)
Avec λ_A = 1.6 et λ_B = 0.9, quelques scores :
| Score | P(domicile) | P(extérieur) | P(score) |
|---|---|---|---|
| 0-0 | 20.2% | 40.7% | 8.2% |
| 1-0 | 32.3% | 40.7% | 13.1% |
| 1-1 | 32.3% | 36.6% | 11.8% |
| 2-0 | 25.8% | 40.7% | 10.5% |
| 2-1 | 25.8% | 36.6% | 9.5% |
| 0-1 | 20.2% | 36.6% | 7.4% |
| 3-1 | 13.8% | 36.6% | 5.1% |
Calcul du marché Over 2.5
P(Over 2.5) = Somme de P(score i-j) pour tous les scores où i+j > 2 :
= P(1-2) + P(2-1) + P(3-0) + P(0-3) + P(2-2) + P(3-1) + …
Avec λ_A = 1.6 et λ_B = 0.9 : P(Over 2.5) ≈ 41.3%
Cote « fair » équivalente : 1 / 0.413 ≈ 2.42
Si le bookmaker propose 2.60 (probabilité implicite 38.5%), l’edge est de +2.8% — un value bet modéré.
Calcul du marché BTTS
P(BTTS Oui) = 1 − P(A marque 0) − P(B marque 0) + P(0-0)
Avec λ_A = 1.6, λ_B = 0.9 :
P(BTTS Oui) = 1 − 0.202 − 0.407 + (0.202 × 0.407) ≈ 47.3%
La correction Dixon-Coles pour les scores bas
La distribution de Poisson simple sous-estime légèrement la probabilité des scores 0-0, 1-0, 0-1 et 1-1 en football réel. Dixon et Coles ont introduit un paramètre ρ (rhô) qui corrige ces probabilités :
- P(0-0) est multipliée par (1 − λ_A × λ_B × ρ)
- P(1-0) est multipliée par (1 + λ_B × ρ)
- P(0-1) est multipliée par (1 + λ_A × ρ)
- P(1-1) est multipliée par (1 − ρ)
ρ est typiquement négatif (≈ −0.13), ce qui augmente légèrement P(0-0) et P(1-1) et diminue P(1-0) et P(0-1) — un ajustement empiriquement validé sur des milliers de matchs.
Application dans FootEdge
FootEdge calcule toute la matrice des scores possibles (jusqu’à 7-7) pour chaque match, et en déduit automatiquement :
- Probabilités 1X2
- Over/Under 0.5, 1.5, 2.5, 3.5
- BTTS Oui/Non
- Double Chance (1X, X2, 12)
- Top 5 scores les plus probables avec leur probabilité
Toutes ces probabilités sont disponibles sur chaque fiche de match FootEdge. Ce modèle est la base du modèle Dixon-Coles et permet de détecter des value bets sur les marchés Over/Under et BTTS.
⚠️ Les paris sportifs comportent des risques. Jouez de manière responsable. Aide : 0 800 400 312.
